Wie man lineare Differentialgleichungen mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten löst

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Schreiben Sie yp{displaystyle y_{p}} als lineare Kombination der oben genannten Begriffe. Die Koeffizienten in dieser linearen Kombination sind der Grund, warum diese Methode als Methode der unbestimmten Koeffizienten bezeichnet wird. Wenn bei der Suche nach den linear unabhängigen Ableitungen Begriffe auftauchen, die sich im yc{displaystyle y_{c}} befinden, können Sie diese in yp,{displaystyle y_{p}, } ignorieren, da die beliebigen Konstanten im yc{displaystyle y_{c}} diese Begriffe für Sie übernehmen.

Bewerten Sie die erste und zweite Ableitung von yp{displaystyle y_{p}}}. Ersetzen Sie diese in die Differentialgleichung.

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer Q(x){Anzeigeart Q(x)}, die aus Begriffen mit endlich vielen linear unabhängigen Derivaten besteht, was bedeutet, dass das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten ideal ist, um diese Gleichung zu lösen.

Finden Sie die passende Lösung. Die komplementäre Lösung ist die allgemeine Lösung für die entsprechende homogene Gleichung, bei der wir die rechte Seite auf 0 setzen, in diesem Beispiel gibt es keine Doppelwurzeln.

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung.

Suchen Sie die Ergänzungsfunktion yc{displaystyle y_{c}}. Die Komplementärfunktion, wie erwähnt, ist die Lösung für die entsprechende homogene Differentialgleichung. Alle Lösungen für diese Arten von Differentialgleichungen werden Exponentialwerte der Form erx,{displaystyle e^{rx},} enthalten, wobei r{displaystyle r} die (im Allgemeinen) komplexe Wurzel der charakteristischen Gleichung ist. Wenn die Wurzel eine imaginäre Komponente enthält, dann enthält die Lösung in Form von realen Argumenten auch Cosinus und Sinus, gemäß der Formel von Euler.

Schreiben Sie yp{displaystyle y_{p}}}. Wir sehen, dass x{displaystyle x} x1{displaystyle x^{1}} mal der Begriff c1.{displaystyle c_{1}.} ist. Daher besteht yp{displaystyle y_{p}} aus x2{displaystyle x^{2}} und seinen linear unabhängigen Ableitungen sowie sin2x{displaystyle sin 2x} und cos2x.{displaystyle cos 2x.}}. Denken Sie daran, dass wir bei der Konstruktion der Linearkombination alle multiplikativen Konstanten ignorieren.

Finden Sie die passende Lösung.

Vergleichen Sie die Begriffe von Q(x){displaystyle Q(x)} mit den Begriffen in yc,{displaystyle y_{c},} ohne Berücksichtigung multiplikativer Konstanten. Von hier aus gibt es drei mögliche Szenarien.

Kommen wir zur allgemeinen Lösung der Differentialgleichung.

Kommen wir zur allgemeinen Lösung der Differentialgleichung. Kombinieren Sie yp{displaystyle y_{p}} mit yc.{displaystyle y_{c}.}.

Lösen Sie für die Koeffizienten. Wir können sofort sehen, dass A=12{displaystyle A={frac {1}{2}}} und 2A B=0,{displaystyle 2A B=0,} so B=-1.{displaystyle B=-1.} C{displaystyle C} ist nicht einmal vorhanden, so dass C=0.{displaystyle C=0.} Da D{displaystyle D} und E{displaystyle E} gekoppelt sind, können sie zudem eigenständig gelöst werden.

Schreiben Sie yp{displaystyle y_{p}}}. Zuerst prüfen wir, ob irgendwelche Begriffe in Q(x){displaystyle Q(x)} xn{displaystyle x^{n}} mal ein Begriff in yc,{displaystyle y_{c},} bis hin zu multiplikativen Konstanten sind. Da keiner der Begriffe gleich ist, besteht yp{displaystyle y_{p}} nur aus einer linearen Kombination von Q(x){displaystyle Q(x)} und seinen linear unabhängigen Derivaten.

Lösen Sie für die Koeffizienten. Wir können sofort sehen, dass A=16.{displaystyle A={frac {1}{6}}}.} Das Einstecken in die andere Gleichung -5A 6B=0{displaystyle -5A 6B=0} netzt uns B=536.{displaystyle B={frac {5}{36}}.}.

Lösen Sie für die Koeffizienten. Im Allgemeinen wird dies ein System von linearen Gleichungen sein. Aber typischerweise sind viele von ihnen trivial, da die Begriffe sofort auf 0 gesetzt werden.

Schreiben Sie yp{displaystyle y_{p}} mit den Koeffizienten, die wir gerade gefunden haben. Beachten Sie, dass diese Koeffizienten zu einer leicht nicht-intuitiven Antwort führten, die die Bedeutung der Einbeziehung der Derivate von Q(x){displaystyle Q(x)} in yp{displaystyle y_{p}} während der Verwendung dieser Methode widerspiegelt.

Überprüfen Sie, ob Q(x){displaystyle Q(x)} eine endliche Anzahl von linear unabhängigen Derivaten enthält. Wenn wir eine lineare Kombination mit einer endlichen Anzahl von linear unabhängigen Derivaten ausgeben können, dann können wir das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten verwenden, um die inhomogene Differentialgleichung zu lösen. Andernfalls müssen wir die Variation der Parameter verwenden.

Bewerten Sie die erste und zweite Ableitung von yp{displaystyle y_{p}}}. Ersetzen Sie diese in die Differentialgleichung.

Ersetzen Sie yp{displaystyle y_{p}} in die Differentialgleichung. Bewerten Sie die Derivate.

Kommen wir zur allgemeinen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Nach Durchlaufen eines der Szenarien und Bestimmen der Koeffizienten bezeichnet die Summe y=yc yp{displaystyle y=y_{c} y_{p}} die allgemeine Lösung. Das ist leicht zu beweisen. Wenn yp{displaystyle y_{p}} eine bestimmte Lösung für die inhomogene Gleichung ist, dann wirkt sich das Hinzufügen von yp{displaystyle y_{p}} mit yc{displaystyle y_{c}} nicht auf Q(x).{displaystyle Q(x).} aus.

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